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<!DOCTYPE html>

<title>Ladungsradius</title>

</head>

<h1 id="firstHeading" class="firstHeading mw-first-heading"><span class="mw-page-title-main">Ladungsradius</span></h1>

</header>

</div>

<div id="mw-content-text" class="mw-body-content mw-content-ltr" lang="de" dir="ltr"><div class="mw-content-ltr mw-parser-output" lang="de" dir="ltr"><p>Der <b>Ladungsradius</b> ist ein Maß für die Größe von zusammengesetzten Teilchen, insbesondere <a href="Atomkern" title="Atomkern">Atomkernen</a> und <a href="Hadron" title="Hadron">Hadronen</a>. Er beruht auf der räumlichen Ladungsverteilung der elektrischen Ladung, die wesentlich leichter zu messen ist als die Massenverteilung. Sofern nichts anderes angegeben wird, ist mit „Ladungsradius“ der mittlere quadratische Ladungsradius (<span style="font-style:normal;font-weight:normal"><a href="Englische_Sprache" title="Englische Sprache">englisch</a></span> <span lang="en-Latn" style="font-style:italic">rms charge radius</span>) gemeint.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Definition">Definition</h2></div>

<p>Atomkerne und zusammengesetzte <a href="Subatomares_Teilchen" title="Subatomares Teilchen">subatomare Teilchen</a>, wie z. B. <a href="Proton" title="Proton">Protonen</a>, haben keinen scharfen Rand, sondern sind recht diffuse Gebilde. Zur Definition eines Radius geht man von der Verteilung der <a href="Ladungsdichte" title="Ladungsdichte">(Raum-)Ladungsdichte</a> ρ aus, die sich vor allem durch <a href="Streuexperiment" title="Streuexperiment">Streuexperimente</a> mit <a href="Elektron" title="Elektron">Elektronen</a> messen lässt. Es gibt mehrere Definitionen für den hieraus abzuleitenden Radius. Die folgenden Definitionen beziehen sich auf Teilchen, die kugelförmig sind, was bei vielen Atomkernen nur näherungsweise der Fall ist.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Mittlerer_quadratischer_Ladungsradius">Mittlerer quadratischer Ladungsradius</h3></div>

<p>Beim „mittleren quadratischen Ladungsradius“ oder „quadratisch gemittelten Ladungsradius“ (<span style="font-style:normal;font-weight:normal"><a href="Englische_Sprache" title="Englische Sprache">englisch</a></span> <span lang="en-Latn" style="font-style:italic"><i>root mean square [rms] charge radius</i></span>) wird das Quadrat des Abstands vom Zentrum der Ladungsverteilung <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle r}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle r}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0d1ecb613aa2984f0576f70f86650b7c2a132538.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.049ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle r}" loading="lazy"></span> mit der Ladungsdichte <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \rho (r)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \rho (r)}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0ae3869ce7a8ac4d31123c8bdfcd771ae2dc75f4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.06ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \rho (r)}" loading="lazy"></span> <a href="Gewichtetes_Mittel" class="mw-redirect" title="Gewichtetes Mittel">gewichtet</a> und somit ein gewichtetes <a href="Quadratisches_Mittel" title="Quadratisches Mittel">quadratisches Mittel</a> erhalten:

</p>

<msqrt>

<msup>

</mrow>

</msup>

</msqrt>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle R={\sqrt {\langle r^{2}\rangle }}\quad }</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0d9a9a2e1bdb5bd6fb6a94ea50a70fbbc4a0985a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.671ex; width:13.421ex; height:4.843ex;" alt="{\displaystyle R={\sqrt {\langle r^{2}\rangle }}\quad }" loading="lazy"></span> mit <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \quad \langle r^{2}\rangle ={\frac {1}{Q}}\int r^{2}\rho ({\vec {r}})\,\mathrm {d} ^{3}{\vec {r}}={\frac {1}{Q}}\int r^{2}\rho (r)\,4\pi \,r^{2}\,\mathrm {d} r\,.}">

<msup>

</mrow>

</msup>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

<mover>

</mover>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

<mover>

</mover>

</mrow>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \quad \langle r^{2}\rangle ={\frac {1}{Q}}\int r^{2}\rho ({\vec {r}})\,\mathrm {d} ^{3}{\vec {r}}={\frac {1}{Q}}\int r^{2}\rho (r)\,4\pi \,r^{2}\,\mathrm {d} r\,.}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ddbd2028901839d5d2d6f4c03b6bc34ef5b12617.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:49.307ex; height:5.676ex;" alt="{\displaystyle \quad \langle r^{2}\rangle ={\frac {1}{Q}}\int r^{2}\rho ({\vec {r}})\,\mathrm {d} ^{3}{\vec {r}}={\frac {1}{Q}}\int r^{2}\rho (r)\,4\pi \,r^{2}\,\mathrm {d} r\,.}" loading="lazy"></span></dd></dl>

<p>Für das Neutron ist <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \langle r^{2}\rangle }">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \langle r^{2}\rangle }</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/089684b1048796cfa989cc0ac044571b77d3017a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:3.912ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle \langle r^{2}\rangle }" loading="lazy"></span> nicht Null, sondern ein kleiner, negativer Wert (man normiert hier mit <i>Q</i> = +1e). Zwar ist das Neutron elektrisch neutral, aber zur Mitte hin überwiegt die positive Ladung und nach außen die negative. In diesem Fall gibt man nicht den Wert von <i>R</i> an (er wäre eine <a href="Imagin%C3%A4re_Zahl" title="Imaginäre Zahl">imaginäre Zahl</a>), sondern den Wert von <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \langle r^{2}\rangle }">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \langle r^{2}\rangle }</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/089684b1048796cfa989cc0ac044571b77d3017a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:3.912ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle \langle r^{2}\rangle }" loading="lazy"></span>.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Halbwertsradius">Halbwertsradius</h3></div>

<p>Der Halbwertsradius <i>R<sub>1/2</sub></i> ist der Radius, bei dem die Dichte im Vergleich mit dem Zentrum auf die Hälfte abgefallen ist:

</p>

<msub>

</mrow>

</mrow>

</msub>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \rho (R_{1/2})={\frac {1}{2}}\rho (0)}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/caee48ca9a71103ffc46a36b87205fdc598975e4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:16.744ex; height:5.176ex;" alt="{\displaystyle \rho (R_{1/2})={\frac {1}{2}}\rho (0)}" loading="lazy"></span></dd></dl>

<p>Diese Definition findet bei Atomkernen Verwendung. Bei größeren Atomkernen ist die Masse- und Ladungsdichte vom Zentrum bis zu einem gewissen Radius konstant und fällt dann relativ steil ab, wobei die Dicke dieses Übergangsbereichs für alle Massenzahlen fast gleich ist. Der Halbwertsradius ist ungefähr proportional zur dritten Wurzel der Massenzahl.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Äquivalenter_Radius_einer_homogen_geladenen_Kugel"><span id=".C3.84quivalenter_Radius_einer_homogen_geladenen_Kugel"></span>Äquivalenter Radius einer homogen geladenen Kugel</h3></div>

<p>Für eine homogen geladene Kugel mit dem Radius <i>R<sub>e</sub></i> (also scharfem Rand) gilt <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\textstyle \langle r^{2}\rangle ={\frac {3}{5}}R_{e}^{2}}">

<msup>

</mrow>

</msup>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\textstyle \langle r^{2}\rangle ={\frac {3}{5}}R_{e}^{2}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7e69ffaf4245c6c267f799aa1d75cf57c65c6e6f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.338ex; width:11.487ex; height:3.676ex;" alt="{\textstyle \langle r^{2}\rangle ={\frac {3}{5}}R_{e}^{2}}" loading="lazy"></span>. Daraus ergibt sich

</p>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msqrt>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</msqrt>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle R_{e}={\sqrt {{\frac {5}{3}}\langle r^{2}\rangle }}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0eec1cb1fa93c5ef4f3fa236bd36bc438ea625a0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:14.095ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle R_{e}={\sqrt {{\frac {5}{3}}\langle r^{2}\rangle }}}" loading="lazy"></span>.</dd></dl>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Messung">Messung</h2></div>

<caption>Ladungsradien von Hadronen

</caption>

</td>

</td></tr>

<tr>

</td>

</td></tr>

<tr>

</td>

</td></tr>

<tr>

</td>

</td></tr>

<tr>

</td>

</td></tr>

<tr>

</td>

</td></tr>

</tbody></table>

<p>Die beiden wichtigsten Methoden zur Bestimmung des Ladungsradius sind <a href="Streuexperiment" title="Streuexperiment">Streuexperimente</a> und <a href="Spektroskopie" title="Spektroskopie">Spektroskopie</a> gebundener Zustände.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Streuung">Streuung</h3></div>

<p>Bei <a href="Streuexperiment" title="Streuexperiment">Streuexperimenten</a> verwendet man üblicherweise Strahlen von <a href="Elektron" title="Elektron">Elektronen</a>. Elektronen unterliegen der elektromagnetischen Wechselwirkung, nicht aber der in diesem Fall störenden <a href="Starke_Wechselwirkung" title="Starke Wechselwirkung">starken</a> Wechselwirkung, und werden von der Ladungsverteilung des beschossenen Objekts direkt beeinflusst. Überdies sind sie leicht zu erzeugen und punktförmig. Man misst die Abhängigkeit der Streuwahrscheinlichkeit vom Impulsübertrag <i>q</i> und vergleicht sie mit dem Wert, den man erhielte, wenn das Zielobjekt punktförmig wäre. Das Verhältnis beider Werte wird als <a href="Formfaktor_(Physik)" title="Formfaktor (Physik)">Formfaktor</a> <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle F(q)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle F(q)}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2dd78c76cd9aed80f13a651ca4739b0152d49580.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.62ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle F(q)}" loading="lazy"></span> bezeichnet. Für eine kugelsymmetrische Ladungsverteilung ist er durch

</p>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

<mrow>

<mrow>

<mfrac>

<mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

<mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle F(q)={\frac {4\pi }{Q}}\int \operatorname {si} {\frac {qr}{\hbar }}\rho (r)\,r^{2}\,\mathrm {d} r={\frac {4\pi }{Q}}\int \left(1-{\frac {(qr)^{2}}{6\hbar ^{2}}}+{\mathcal {O}}(qr)^{4}\right)\rho (r)\,r^{2}\mathrm {d} r}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/6c7955c6990d692c96e4d94c1d90209a019296bd.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.171ex; width:70.048ex; height:7.509ex;" alt="{\displaystyle F(q)={\frac {4\pi }{Q}}\int \operatorname {si} {\frac {qr}{\hbar }}\rho (r)\,r^{2}\,\mathrm {d} r={\frac {4\pi }{Q}}\int \left(1-{\frac {(qr)^{2}}{6\hbar ^{2}}}+{\mathcal {O}}(qr)^{4}\right)\rho (r)\,r^{2}\mathrm {d} r}" loading="lazy"></span></dd></dl>

<p>gegeben, wobei <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\textstyle \operatorname {si} }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\textstyle \operatorname {si} }</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2153ebf21e0cf0b69dd4aa11821a1cda7bf9cb6b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.563ex; height:2.176ex;" alt="{\textstyle \operatorname {si} }" loading="lazy"></span> der <a href="Kardinalsinus" class="mw-redirect" title="Kardinalsinus">Kardinalsinus</a> ist und <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\textstyle {\mathcal {O}}(qr)^{4}}">

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\textstyle {\mathcal {O}}(qr)^{4}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/77f3e33347aed73edc1c9c4cb0a55c3cdcda4b69.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:6.832ex; height:3.009ex;" alt="{\textstyle {\mathcal {O}}(qr)^{4}}" loading="lazy"></span> für Terme vierter und höherer Ordnung in der <a href="Taylorreihe" title="Taylorreihe">Taylorreihenentwicklung</a> steht. Aus <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \textstyle 4\pi \int \rho (r)r^{2}\,\mathrm {d} r=Q}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \textstyle 4\pi \int \rho (r)r^{2}\,\mathrm {d} r=Q}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/85eb070cd3819539452f44243085081d8e7b2158.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:18.514ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle \textstyle 4\pi \int \rho (r)r^{2}\,\mathrm {d} r=Q}" loading="lazy"></span> folgt

</p>

<mfrac>

<msup>

</mrow>

</msup>

<mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle F(q)=1-{\frac {q^{2}}{6\hbar ^{2}}}\langle r^{2}\rangle +{\mathcal {O}}(q^{4})\,}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/31f5a419ad701db109e4f72587051c3ef00675bd.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.171ex; width:29.028ex; height:6.009ex;" alt="{\displaystyle F(q)=1-{\frac {q^{2}}{6\hbar ^{2}}}\langle r^{2}\rangle +{\mathcal {O}}(q^{4})\,}" loading="lazy"></span>.</dd></dl>

<p>Aus dem Verlauf des Formfaktors kann der Ladungsradius durch

</p>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msub>

<mrow>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

</mrow>

<mrow>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \langle r^{2}\rangle =-6\hbar ^{2}\left.{\frac {\mathrm {d} F}{\mathrm {d} q^{2}}}\right|_{q^{2}=0}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/6657278c58514344bd2b380719ecd56db5626423.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.005ex; width:21.194ex; height:6.676ex;" alt="{\displaystyle \langle r^{2}\rangle =-6\hbar ^{2}\left.{\frac {\mathrm {d} F}{\mathrm {d} q^{2}}}\right|_{q^{2}=0}}" loading="lazy"></span></dd></dl>

<p>berechnet werden.

</p><p>Um den Ladungsradius von Teilchen wie Neutronen, <a href="Pion" title="Pion">Pionen</a> oder <a href="Kaon" title="Kaon">Kaonen</a> zu bestimmen, die man nicht als Target darstellen kann, führt man das Streuexperiment umgekehrt durch: Man erzeugt einen Strahl dieser Teilchen und lässt sie mit den Elektronen in einem ruhenden Target wechselwirken.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Spektroskopie">Spektroskopie</h3></div>

<p>Eine weitere Möglichkeit besteht in der atomaren Spektroskopie, die man insbesondere für die Vermessung des Protons verwendet. Das Proton ist im Vergleich zum gesamten Wasserstoffatom winzig, trotzdem hat seine räumliche Ausdehnung einen Einfluss auf die atomaren Energieniveaus.

</p><p>Für Präzisionsmessungen verwendet man <a href="Myonischer_Wasserstoff" title="Myonischer Wasserstoff">myonischen Wasserstoff</a>, in dem das Elektron durch ein 207-mal schwereres <a href="Myon" title="Myon">Myon</a> ersetzt ist. Der <a href="Bohrscher_Radius" title="Bohrscher Radius">Atomradius</a> ist proportional zu <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\textstyle m_{\mathrm {e} ,\mu }^{-1}}">

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\textstyle m_{\mathrm {e} ,\mu }^{-1}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/816b6eeb8e3fdcb2dc9b835c6ba7fe5752e48fdc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:4.451ex; height:3.343ex;" alt="{\textstyle m_{\mathrm {e} ,\mu }^{-1}}" loading="lazy"></span> und demnach um diesen Faktor kleiner; die Auswirkung der räumlichen Ausdehnung des Protons ist proportional zu <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\textstyle m_{\mathrm {e} ,\mu }^{3}}">

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\textstyle m_{\mathrm {e} ,\mu }^{3}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/af1c0567626b79639098b03daf7ca183cb14756e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:4.451ex; height:3.176ex;" alt="{\textstyle m_{\mathrm {e} ,\mu }^{3}}" loading="lazy"></span>. Trotzdem ist der Effekt klein (3,7 meV beim Übergang 2p<sub>1/2</sub>−2s<sub>1/2</sub>) verglichen mit anderen (206 meV durch <a href="Lamb-Verschiebung" title="Lamb-Verschiebung">Lamb-Verschiebung</a> und <a href="Hyperfeinstruktur" title="Hyperfeinstruktur">Hyperfeinstruktur</a>). Daher sind komplizierte <a href="Quantenelektrodynamik" title="Quantenelektrodynamik">quantenelektrodynamische</a> Rechnungen erforderlich (siehe <a href="Uehling-Effekt" class="mw-redirect" title="Uehling-Effekt">Uehling-Effekt</a>).<sup id="cite_ref-borie_6-0" class="reference"><a href="#cite_note-borie-6"><span class="cite-bracket">[</span>6<span class="cite-bracket">]</span></a></sup>

</p><p>Unterschiede im Ladungsradius von <a href="Isotop" title="Isotop">Isotopen</a> schwererer Atome kann man durch optische Spektroskopie (<i>optical isotope shift</i> – OIS) und in der <a href="Charakteristische_R%C3%B6ntgenstrahlung" title="Charakteristische Röntgenstrahlung">charakteristischen Röntgenstrahlung</a> (<i>K</i><sub>α</sub> <i>isotope shift</i> – KIS) beobachten.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Literatur">Literatur</h2></div>

<ul><li><a href="Theo_Mayer-Kuckuk" title="Theo Mayer-Kuckuk">Theo Mayer-Kuckuk</a>: <cite style="font-style:italic">Kernphysik</cite>. 2. Auflage. B. G. Teubner, Stuttgart 1979, ISBN 3-519-23021-6.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Ladungsradius&rft.au=Theo+Mayer-Kuckuk&rft.btitle=Kernphysik&rft.date=1979&rft.edition=2&rft.genre=book&rft.isbn=3519230216&rft.place=Stuttgart&rft.pub=B.+G.+Teubner" style="display:none"> </span></li>

<li><a href="Bogdan_Povh" title="Bogdan Povh">B. Povh</a>, <a href="Klaus_Rith" title="Klaus Rith">K. Rith</a>, C. Scholz, F. Zetsche, W. Rodejohann: <i>Teilchen und Kerne: Eine Einführung in die physikalischen Konzepte.</i> 9. Auflage, Springer, 2014, ISBN 978-3-642-37821-8</li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Einzelnachweise">Einzelnachweise</h2></div>

<span class="cite">R.L. Workman et al. (<a href="Particle_Data_Group" title="Particle Data Group">Particle Data Group</a>): <a rel="nofollow" class="external text" href="https://pdg.lbl.gov/2022/listings/rpp2022-list-p.pdf"><i>2022 Review of Particle Physics, proton.</i></a> (PDF) In: <i>Prog. Theor. Exp. Phys. 2022, 083C01 (2022).</i> Particle Data Group,<span class="Abrufdatum"> abgerufen am 1. August 2022</span> (englisch).</span><span style="display: none;" class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Adc&rfr_id=info%3Asid%2Fde.wikipedia.org%3ALadungsradius&rft.title=2022+Review+of+Particle+Physics%2C+proton&rft.description=2022+Review+of+Particle+Physics%2C+proton&rft.identifier=https%3A%2F%2Fpdg.lbl.gov%2F2022%2Flistings%2Frpp2022-list-p.pdf&rft.creator=R.L.+Workman+et+al.+%28%5B%5BParticle+Data+Group%5D%5D%29&rft.publisher=Particle+Data+Group&rft.language=en"> </span></span>

</li>

<span class="cite">R.L. Workman et al. (<a href="Particle_Data_Group" title="Particle Data Group">Particle Data Group</a>): <a rel="nofollow" class="external text" href="https://pdg.lbl.gov/2022/listings/rpp2022-list-n.pdf"><i>2022 Review of Particle Physics, neutron.</i></a> (PDF) In: <i>Prog. Theor. Exp. Phys. 2022, 083C01 (2022).</i> Particle Data Group,<span class="Abrufdatum"> abgerufen am 1. August 2022</span> (englisch).</span><span style="display: none;" class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Adc&rfr_id=info%3Asid%2Fde.wikipedia.org%3ALadungsradius&rft.title=2022+Review+of+Particle+Physics%2C+neutron&rft.description=2022+Review+of+Particle+Physics%2C+neutron&rft.identifier=https%3A%2F%2Fpdg.lbl.gov%2F2022%2Flistings%2Frpp2022-list-n.pdf&rft.creator=R.L.+Workman+et+al.+%28%5B%5BParticle+Data+Group%5D%5D%29&rft.publisher=Particle+Data+Group&rft.language=en"> </span></span>

</li>

<span class="cite"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://physics.nist.gov/cgi-bin/cuu/Value?rd"><i>CODATA Value: deuteron rms charge radius.</i></a> In: <i>The NIST Reference on Constants, Units and Uncertainty.</i> <a href="National_Institute_of_Standards_and_Technology" title="National Institute of Standards and Technology">National Institute of Standards and Technology</a>,<span class="Abrufdatum"> abgerufen am 1. Januar 2021</span> (englisch).</span><span style="display: none;" class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Adc&rfr_id=info%3Asid%2Fde.wikipedia.org%3ALadungsradius&rft.title=CODATA+Value%3A+deuteron+rms+charge+radius&rft.description=CODATA+Value%3A+deuteron+rms+charge+radius&rft.identifier=https%3A%2F%2Fphysics.nist.gov%2Fcgi-bin%2Fcuu%2FValue%3Frd&rft.publisher=%5B%5BNational+Institute+of+Standards+and+Technology%5D%5D&rft.language=en"> </span></span>

</li>

<span class="cite">R.L. Workman et al. (<a href="Particle_Data_Group" title="Particle Data Group">Particle Data Group</a>): <a rel="nofollow" class="external text" href="https://pdg.lbl.gov/2022/listings/rpp2022-list-pi-plus-minus.pdf"><i>2022 Review of Particle Physics, π<sup>±</sup>.</i></a> (PDF) In: <i>Prog. Theor. Exp. Phys. 2022, 083C01 (2022).</i> Particle Data Group,<span class="Abrufdatum"> abgerufen am 1. August 2022</span> (englisch).</span><span style="display: none;" class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Adc&rfr_id=info%3Asid%2Fde.wikipedia.org%3ALadungsradius&rft.title=2022+Review+of+Particle+Physics%2C+%CF%80%3Csup%3E%C2%B1%3C%2Fsup%3E&rft.description=2022+Review+of+Particle+Physics%2C+%CF%80%3Csup%3E%C2%B1%3C%2Fsup%3E&rft.identifier=https%3A%2F%2Fpdg.lbl.gov%2F2022%2Flistings%2Frpp2022-list-pi-plus-minus.pdf&rft.creator=R.L.+Workman+et+al.+%28%5B%5BParticle+Data+Group%5D%5D%29&rft.publisher=Particle+Data+Group&rft.language=en"> </span></span>

</li>

<a rel="nofollow" class="external text" href="https://pdg.lbl.gov/2020/tables/rpp2020-sum-mesons.pdf">Meson Summary Table</a> <a href="Particle_Data_Group" title="Particle Data Group">Particle Data Group</a></span>

</li>

E. Borie: Lamb Shift in Light Muonic Atoms – Revisited <a rel="nofollow" class="external autonumber" href="https://arxiv.org/pdf/1103.1772.pdf">[1]</a>, 21. Aug. 2014</span>

</li>

</ol></div><div><div class="zim-footer">

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